Linear Interpolation

Exploring the concept of linear interpolation and its mathematical proof

August 13, 2024

선형 보간의 공식은 두 점 사이에서 임의의 위치를 계산하는 방법입니다. 이를 증명하기 위해, 두 점 $P_0(x_0, y_0)$와 $P_1(x_1, y_1)$ 사이에서 선형 보간을 수행하여 임의의 위치 $P(t)$를 계산하는 과정을 설명하겠습니다.

선형 보간의 정의

선형 보간은 두 점 사이에서 $( t )$라는 매개변수에 따라 위치를 계산하는 방법입니다. 이때 $t$는 0에서 1 사이의 값을 가지며, $t = 0$일 때는 $P_0$ 위치에, $t = 1$일 때는 $P_1$ 위치에 있습니다. 보간된 점 $P(t)$는 다음과 같이 정의됩니다.

여기서:

• $t = 0$이면 $P(t) = P_0$
• $t = 1$이면 $P(t) = P_1$
• $t = 0.5$이면 $P(t)$는 $P_0$와 $P_1$ 사이의 중간점이 됩니다.

1. 수학적 정의

이 공식을 수학적으로 풀어보면 다음과 같이 됩니다. $P(t)$는 두 점 $P_0$과 $P_1$의 보간된 위치를 나타내며, $x$와 $y$ 좌표 각각에 대해 계산됩니다:

따라서 보간된 점의 x좌표 $x(t)$와 y좌표 $y(t)$는 다음과 같이 정의됩니다:

2. 선형 보간 공식의 증명

선형 보간 공식을 증명하려면, 이 공식이 두 점 사이의 직선 위의 모든 점을 정확하게 나타낸다는 것을 보여야 합니다.

1. 선형 보간 공식의 구성:

   두 점 $P_0$와 $P_1$의 좌표는 각각 $P_0(x_0, y_0)$와 $P_1(x_1, y_1)$로 주어집니다. 선형 보간 공식은 $t$를 이용해 두 점 사이의 직선상의 임의의 점 $P(t)$를 계산합니다.

   $$P(t) = (1 - t) \cdot P_0 + t \cdot P_1$$

2. 극한값 검토:

   $t$ 값이 0과 1일 때, 공식이 두 점 $P_0$와 $P_1$을 정확히 나타내는지 확인합니다.

   • $t = 0$일 때:

     $$P(0) = (1 - 0) \cdot P_0 + 0 \cdot P_1 = P_0$$

   • $t = 1$일 때:

     $$P(1) = (1 - 1) \cdot P_0 + 1 \cdot P_1 = P_1$$

   이를 통해 $t$가 0일 때 $P(t)$는 $P_0$가 되고, $t$가 1일 때 $P(t)$는 $P_1$이 됨을 확인할 수 있습니다.

3. 직선 위의 점:

   두 점 사이의 직선 위에 있는 모든 점은 이 공���을 만족합니다. $t$가 0에서 1 사이의 값을 가질 때, 공식은 두 점 $P_0$와 $P_1$을 연결하는 직선 위의 임의의 점을 정확히 나타냅니다. $t = 0.5$일 때, 이 점은 두 점 사이의 중간점입니다.

3. 예시를 통한 확인

예를 들어, $P_0(1, 2)$와 $P_1(3, 4)$ 사이에서 $t = 0.5$일 때의 보간된 점을 계산해보겠습니다.

따라서 $t = 0.5$일 때의 보간된 점은 $P(0.5) = (2, 3)$입니다. 이 점은 $P_0$와 $P_1$ 사이의 정확한 중간점입니다.

결론

선형 보간 공식은 두 점 사이의 임의의 점을 계산하는 간단하고 정확한 방법입니다. 이 공식은 선형적으로 두 점 사이의 거리를 나누어, 직선 위의 점을 계산하는 데 사용됩니다. 위의 증명을 통해, 이 공식이 두 점 사이의 직선 위의 모든 점을 올바르게 계산함을 알 수 있습니다.